Sens des opérations

Au fil de son évolution, l’Homme s’est posé des questions sur la façon d’évaluer la population d’un troupeau, la production d’une récolte, les dimensions d’une propriété, les jours qui le séparent d’un événement, le partage d'un héritage ... Il a mis en place les outils du dénombrement et les règles de calcul. Les nombres et les opérations constituent la base du langage mathématique. 

Quatre opérations élémentaires traduisent les notions « J’en ai plus », « J’en ai moins », « Je répète », « Je partage ». Une opération mathématique associe des nombres (les opérandes) à un signe mathématique (l’opérateur) : +, -, ×, ÷.  Une opération mathématique met en jeu des collections d’objets (ou des grandeurs) de même nature.

• Exploiter différents sens de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division avec des collections d'objets ;
• Représenter des nombres naturels de différentes façons : associer un nombre à un ensemble d’objets ;
• Introduire la propriété de commutativité ou de non-commutativité des opérations.

Concept d'addition : 
Additionner signifie réunir des collections d’objets de même nature. Le résultat de l’addition s’appelle la somme, il correspond au dénombrement de tous les objets réunis.

5 bananes plus 3 oranges est égal à 8 fruits, l’opération s’écrit 5 + 3 = 8. 5 et 3 sont les termes de l’addition, 8 est la somme. 
10 pommes vertes plus 5 pommes rouges est égal à 15 pommes : 10 + 5 = 15. Inverser les deux termes donne le même résultat : 5 pommes vertes plus 10 pommes rouges est encore égal à 15 pommes : 5 + 15 = 15. L’addition est commutative. 

Formulation du problème : Léa a récolté 5 pommes dans son panier. Louis a récolté 8 pommes dans son panier. Combien de pommes ont récolté Léa et Louis ? Quel nombre représente la somme ? Combien de pommes Louis doit-il disposer dans son panier pour obtenir une dizaine de pommes ? … 

Concept de soustraction :
Soustraire signifie réduire une collection d’objets. Le résultat de la soustraction s'appelle la différence, il décrit l’écart entre la quantité initiale d’objets et le nombre d’objets retirés.

Retirer 5 pommes au panier qui en compte 15 laisse 10 pommes. L’opération s’écrit 15 – 5 = 10. Les deux termes de la soustraction ne peuvent pas permuter : il n’est pas possible de retirer 10 objets à une collection qui n’en compte que 5. La soustraction n’est pas commutative. 

Formulation du problème : Léa a cueilli 13 pommes, elle donne une pomme à ses 5 amies, chacune d'elles se régale de ses pommes. Combien de pommes reste-t-il dans le panier de Léa? Combien faut-il qu’elle distribue de pommes pour qu’il lui reste une dizaine de pommes dans son panier ? 

Concept de multiplication :
Multiplier signifie répéter plusieurs fois une addition. Le résultat de la multiplication s’appelle le produit. 
Multiplier 5 par 3 revient à calculer une somme de trois termes : 5 + 5 + 5. L’opération s’écrit 5 × 3 = 15 et s’énonce « 5 multiplié par 3 ».ou « 3 fois 5 ». 5 et 3 sont les facteurs, 15 est le produit. Inverser l’ordre des facteurs donne le même résultat : 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. La multiplication est commutative.

La multiplication permet de dénombrer aisément des objets organisés en lignes et en colonnes. Le produit s’interprète comme un « nombre rectangle ».

Formulation du problème : Louis revient d’une cueillette de pommes. Il répartit sa récolte dans 5 paniers, chaque panier contient 8 pommes. Combien de pommes Louis a-t-il cueilli ?    

Concept de la division :
Diviser signifie partager une collection d’objets en parts égales. Le résultat de la division s’appelle le quotient, il correspond au nombre d'éléments contenus dans une part. 
15 divisé par 3 revient à partager 15 en trois parts égales. L’opération s’écrit : 15 ÷ 3 = 5. 15 est le dividende, 3 est le diviseur. Le quotient vaut 5. Quand le partage est complet, la division est dite exacte. 
Si à l’issue du partage équitable, il reste des éléments qui ne peuvent pas être distribués, la division est dite avec reste. 

Formulation du problème : 5 amies se partagent 20 pommes. Combien de pommes ont-elles chacune ? 5 amies se partagent 23 pommes. Combien de pommes ont-elles chacune ? en reste-t-il ?